завтра (точнее, уже сегодня) делаю доклад на конференции Петровского. Кому интересны подробности (осторожно! много формул в ТеХовской нотации!) - читаем далее.
читать дальше
Название доклада: "О проблемах Навье-Стокс приближения и матричных уравнениях".
Краткое фактическое содержание: формулировка необходимых и достаточных условий разрешимости квадратного матричного уравнения $ZAZ+BZ+ZC+Q=0$, где матрица $Z$ размера $(n-m)\times\,m$.
Основная идея: записать это уравнение в таком виде:
\begin{gather}
P_{21}\Lambda_{12}P_{21}-\Lambda_{22}P_{21}+P_{21}\Lambda_{11}-\Lambda_{21}=0,\label{EQ}
\end{gather}
а затем перейти к рассмотрению матрицы
$$
\Lambda=\left(\begin{array}{cc}
\Lambda_{11}&\Lambda_{12}\\
\Lambda_{21}&\Lambda_{22}\end{array}\right).
$$
Достаточно легко показать, что после этого уравнение (\ref{EQ}) эквивалентно уравнению
\begin{gather}
(E-P)\Lambda\,P=0,\label{EQ-s}
\end{gather}
где матрица $P$ имеет вид
$$
P=\left(\begin{array}{cc}
E&0\\
P_{21}&0\end{array}\right)
$$
При этом в случае, когда $det(\Lambda)\ne0$, матричное уравнение (\ref{EQ-s}) можно свести к виду
$$
X^2-\Lambda\,X=0,
$$
которое достаточно тривиально решается.
P.S.: И не говорите, что я не предупреждал...